没那么容易被打倒的！”

振奋精神，李泽翰看向第二题。

题目很简洁，也很漂亮，要证明的结论含义也很清楚，就是数列两项的差值，要小于n的阶乘分之一，同时n大于等于2。

看到不等式，小学生……哦，不，初中生就应该知道，应该使用构造法！

构造法主要是通过引入恒等式，对偶式，函数，图形，数列，让题目变得更直观，如果不等式中出现了n这种有规律的项，这个时候就要想到数列了。

比如证明数列项之和，这个时候就应该想到构造一个移项相减的新数列，然后去分析新数列的单调性。

对应这道题，n次幂的形式，则是可以把不等式两边拆分成n个相同，或者有通式的式子的乘积，再去比较大小。

李泽翰思路自然涌现，他这些年专攻中学数竞，这些基础知识无比扎实，几乎看到题目的瞬间，脑海中就已经浮现出了解题思路，只是还需要时间去将这些思路转化成最后的答案而已。

根号在不等式中显然是扎眼的，所以可以考虑先处理它，通过观察，能够轻易的发现，对式子左边每一项单独平方、立方……就能去除掉根号。

这就很容易能够想到a^(2*3*……*n)-b^(2*3*……*n)这种形式，即可将全部根号去除，并且相减后能消去多余的项，得到(n+1)√(n+1)。

那么就需要构造一个新的数列，ai=

bi=

所以题目要求的不等式就是a2-b2，同时a(i+1)-b(i+1)=(ai)^i -(bi)^i=(ai-bi)(ai^(i-1)+ai^(i-2)bi+……+aibi^(i-2)+bi^(i-1))

(ai)^i -(bi)^i的幂次展开是有现成公式的，任何一个高中生都应该记得这个展开，同时因为幂次展开后面的式子是有规律的，所以可以将它记作cn。

所以有，

a3-b3=(a2-b2)c2

a4-b4=(a3-b3)c3

……

a(n+1)-b(n+1)=(an-bn)cn 将式子两边相乘，约去相同的项，就能得到a(n+1)-b(n+1)=(a2-b2)(c2*c3……cn)，所以(a2-b2)=[a(n+1)-b(n+1)]/(c2·c3……cn)。

而a(n+1)-b(n+1)=(an)^n -(bn)^n，所以a(n+1)-b(n+1)=(a2)^(n*n-1……3*2)-(b2)^(n*n-1……3*2)=(n+1)√(n+1)

最后再来处理cn。

这种式子，李泽翰根本不用思考就能知道需要用到放缩。

因为an>bn≥n√n=n^(1/n)

所以an^(n-1)+an^(n-2)bn+……+anbn^(n-2)+bn^(n-1)式子中每一项都大于等于n^((n-1)/n)，而cn有n项，所以cn≥n*n^((n-1)/n)>n*n^((n-1)/(n+1))。

这时再回到刚才的式子，c2*c3……cn=n!*（一坨），当n>2时，n^((n-1)/(n+1))都是大于1的，所以可以只保留第n项，即c2*c3……cn=n!*n^((n-1)/(n+1))。

所以，a2-b2<1/n!*[(n+1)√(n+1)]/n^((n-1)/(n+1))。

显然，(n+1)√(n+1)]/n^((n-1)/(n+1)=((n+1)/n^(n-1))^(1/(n+1))，当n>2时，前面的式子小于2n/n^2<1，所以a2-b2<1/n!。

呼！

李泽长长的出了口气，题目虽然是做出来了，但他感觉有些头晕脑胀，这道题哪怕是对他来说都是有些难度的，需要能够构造出独特的数列，还需要掌握幂次展开公式，也需要熟悉乘积相消的模式，更需要掌握放缩。

当中任何一环掌握得不够扎实都会卡住，解题就无法继续下去。

再次回头看了眼教室后方的钟表，已经是九点半了，也就是说，解答这道题，他用了足足一个小时！

再抬头看向陈辉